换跟DP

LC310. 最小高度树

树是一个无向图，其中任何两个顶点只通过一条路径连接。 换句话说，一个任何没有简单环路的连通图都是一棵树。

给你一棵包含 n 个节点的树，标记为 0 到 n - 1 。给定数字 n 和一个有 n - 1 条无向边的 edges 列表（每一个边都是一对标签），其中 edges[i] = [ai, bi] 表示树中节点 ai 和 bi 之间存在一条无向边。

可选择树中任何一个节点作为根。当选择节点 x 作为根节点时，设结果树的高度为 h 。在所有可能的树中，具有最小高度的树（即，min(h)）被称为 最小高度树 。

请你找到所有的 最小高度树 并按 任意顺序 返回它们的根节点标签列表。

树的 高度 是指根节点和叶子节点之间最长向下路径上边的数量。

示例 1：

img

输入：n = 4, edges = [[1,0],[1,2],[1,3]]
输出：[1]
解释：如图所示，当根是标签为 1 的节点时，树的高度是 1 ，这是唯一的最小高度树。
INFORM7

示例 2：

img

输入：n = 6, edges = [[3,0],[3,1],[3,2],[3,4],[5,4]]
输出：[3,4]
INFORM7

提示：

• 1 <= n <= 2 * 104
• edges.length == n - 1
• 0 <= ai, bi < n
• ai != bi
• 所有 (ai, bi) 互不相同
• 给定的输入 保证 是一棵树，并且 不会有重复的边

换跟DP解法，对于本题而言如果能够求出以0为根，每个节点向下的最大值mx_down[i]和向上的最大值up[i],就能求出哪些点是最小高度的根，向下的最大值很好求，只需要dfs一遍即可，向上的最大值，需要根据情况来判断，设p为u的父节点，up[u] = max(up[p] + 1, up[u]),此外如果u是p向下最大的子节点的话，up[u] = max(up[u], smx_down[p] + 1),sxm_down为向下的次大值，如果u不是p向下的最大子节点的话，那么up[u] = max(up[u], mx_down[p] + 1),下面的图为三种情况。

此题的另种思路需要数学证明，不会证明。

class Solution:
    def findMinHeightTrees(self, n: int, edges: List[List[int]]) -> List[int]:
        mx_down, smx_down, up, p = [0] * n, [0] * n, [0] * n, [-1] * n

        g = [[] for _ in range(n)]
        for a, b in edges:
            g[a].append(b)
            g[b].append(a)

        def dfs1(u: int, pa: int) -> int:
            for e in g[u]:
                if e != pa:
                    v = dfs1(e, u)
                    if v + 1 >= mx_down[u]:
                        smx_down[u] = mx_down[u]
                        mx_down[u] = v + 1
                        p[u] = e
                    if v + 1 > smx_down[u]:
                        smx_down[u] = v + 1
            return mx_down[u]

        def dfs2(u: int, pa: int) -> None:
            for e in g[u]:
                if e != pa:
                    if p[u] == e:
                        up[e] = max(up[e], smx_down[u] + 1)
                    else:
                        up[e] = max(up[e], mx_down[u] + 1)
                    up[e] = max(up[e], up[u] + 1)
                    dfs2(e, u)

        dfs1(0, -1)
        dfs2(0, -1)
        ret = []
        v = 10 ** 10
        for i in range(n):
            m = max(mx_down[i], up[i])
            if m < v:
                v = m
                ret.clear()
                ret.append(i)
            elif m == v:
                ret.append(i)
        return ret
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